【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若AD為BC邊上的中線,cos B=,AD=
,求△ABC的面積.
【答案】(1)A=60°;(2)
【解析】
(1)利用正弦定理,把邊化為角,結合輔助角公式可求;
(2)利用三角形內角關系求出,結合正弦定理求出
關系,利用余弦定理可求
.
(1)acos C+asin C-b-c=0,由正弦定理得sin Acos C+
sin Asin C=sin B+sin C,
即sin Acos C+sin Asin C=sin(A+C)+sin C,
又sin C≠0,所以化簡得sin A-cos A=1,所以sin(A-30°)=
.
在△ABC中,0°<A<180°,所以A-30°=30°,得A=60°.
(2)在△ABC中,因為cos B=,所以sin B=
.
所以sin C=sin(A+B)=×
+
×
=
.
由正弦定理得,.
設a=7x,c=5x(x>0),則在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B,
即=25x2+
×49x2-2×5x×
×7x×
,解得x=1,所以a=7,c=5,
故S△ABC=acsin B=10
.
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【題目】已知數列中,
,
,
的前
項和為
,且滿足
(
).
(1)試求數列的通項公式;
(2)令,
是
的前
項和,證明:
;
(3)證明:對任意給定的,均存在
,使得
時,(2)中的
恒成立.
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【題目】某油庫的設計容量為30萬噸,年初儲量為10萬噸,從年初起計劃每月購進石油萬噸,以滿足區域內和區域外的需求,若區域內每月用石油1萬噸,區域外前
個月的需求量
(萬噸)與
的函數關系為
,并且前4個月區域外的需求量為20萬噸.
(1)試寫出第個月石油調出后,油庫內儲油量
(萬噸)與
的函數關系式;
(2)要使16個月內每月按計劃購進石油之后,油庫總能滿足區域內和區域外的需求,且每月石油調出后,油庫的石油剩余量不超出油庫的容量,試確定的取值范圍.
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【題目】已知各項均為正數的數列的前
項和為
且滿足:
(1)求數列的通項公式;
(2)設求
的值;
(3)是否存在大于2的正整數使得
?若存在,求出所有符合條件的
若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為
,長軸長為
.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程及離心率;
(Ⅱ)過點的直線
與橢圓
交于
,
兩點,若點
滿足
,求證:由點
構成的曲線
關于直線
對稱.
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【題目】已知、
為橢圓
(
)和雙曲線
的公共頂點,
、
分為雙曲線和橢圓上不同于
、
的動點,且滿足
,設直線
、
、
、
的斜率分別為
、
、
、
.
(1)求證:點、
、
三點共線;
(2)求的值;
(3)若、
分別為橢圓和雙曲線的右焦點,且
,求
的值.
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【題目】有以下命題:
①若函數f(x)既是奇函數又是偶函數,則f(x)的值域為{0};
②若函數f(x)是偶函數,則f(|x|)=f(x);
③若函數f(x)在其定義域內不是單調函數,則f(x)不存在反函數;
④若函數f(x)存在反函數f﹣1(x),且f﹣1(x)與f(x)不完全相同,則f(x)與f﹣1(x)圖象的公共點必在直線y=x上;
其中真命題的序號是 .(寫出所有真命題的序號)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】關于函數,給出以下四個命題,其中真命題的序號是_______.
①時,
單調遞減且沒有最值;
②方程一定有解;
③如果方程有解,則解的個數一定是偶數;
④是偶函數且有最小值.
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