Question

【題目】若函數與在給定的區間上滿足恒成立，則稱這兩個函數在該區間上“和諧”。

（1）若函數與在R上和諧，求實數a的取值范圍；

（2）若函數與在上和諧，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由已知條件得，需都在上恒成立，或有相同的兩個不等的實根，即 ，或，

可求得實數a的取值范圍；

（2）由對數的定義域得,再由題意得，由和,可得和,再由討論當時,當時,當時,分別根據不等式的性質可得實數a的取值范圍.

（1）由已知條件得，若函數與在R上和諧，

則需都在上恒成立，或有相同的兩個不等的實根，

當都在上恒成立時，則需，解得，所以；

當有相同的兩個不等的實根時，，解得，

綜上可得實數a的取值范圍是；

（2）由對數的定義域可得,再由題意得，
由,可得,所以時，，時，；

由,可得，所以時，，時，，
由題意要使函數與在上和諧，則的兩零點之間必需無正整數,
又由于,所以

當時,, ,之間有正整數，不滿足題意;
當時,, ,之間有正整數，不滿足題意;

當時,,滿足題意.
所以實數a的取值范圍是.