Question

【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機器人攔截挑戰(zhàn)賽，在處按方向釋放機器人甲，同時在處按某方向釋放機器人乙，設(shè)機器人乙在處成功攔截機器人甲．若點在矩形區(qū)域內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗．已知米，為中點，機器人乙的速度是機器人甲的速度的2倍，比賽中兩機器人均按勻速直線運動方式行進，記與的夾角為．

（1）若，足夠長，則如何設(shè)置機器人乙的釋放角度才能挑戰(zhàn)成功？（結(jié)果精確到）；

（2）如何設(shè)計矩形區(qū)域的寬的長度，才能確保無論的值為多少，總可以通過設(shè)置機器人乙的釋放角度使機器人乙在矩形區(qū)域內(nèi)成功攔截機器人甲？

Answer 1

【答案】（1）按照與夾角為的向量方向釋放機器人乙；（2）米

【解析】

（1）利用正弦定理,即可求解;

（2）以所在直線為軸,中垂線為軸,建平面直角坐標系,求出的軌跡方程,即可得出結(jié)論．

（1）中,,,

由正弦定理,得：,

所以,所以.

所以應(yīng)在矩形區(qū)域內(nèi),按照與夾角為

的向量方向釋放機器人乙,才能挑戰(zhàn)成功.

（2）以所在直線為軸,中垂線為軸，

建平面直角坐標系,設(shè)由題意，

知,所以,

所以

即點的軌跡是以為圓心，6為半

徑的上半圓在矩形區(qū)域內(nèi)的部分.

所以當米時,能確保無論的值為多少,

總可以通過設(shè)置機器人乙的釋放角度使機器人

乙在矩形區(qū)域內(nèi)成功攔截機器人甲.