Question

【題目】已知函數.

（1）判斷函數在區間上零點的個數；

（2）函數在區間上的極值點從小到大分別為，證明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）對一切成立.

Answer 1

【答案】（1）兩個零點；（2）（I）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】

(1)對求導，利用導數得出函數的單調性，結合零點存在性定理即可得出零點的個數；

(2) （Ⅰ）對函數求導，由(1)得出的范圍，進而得到，利用誘導公式即可得出;

（Ⅱ）由（Ⅰ）得出 >>，結合的單調性確定，且，對n為偶數和奇數進行分類討論，即可得出對一切成立.

（1）

當時，，

在上單調遞減，，在上無零點

當時，，在上單調遞增，

在上有唯一零點

當時，，上單調遞減

，上有唯一零點

綜上，函數在區間上有兩個零點。

（2）

（I）由（1）知在無極值點；在有極小值點，即為；

在有極大值點，即為，同理可得，在有極小值點，

在有極值點.由得

，，由函數在單調遞增，

得，，

由在單調遞減得

；

（Ⅱ）同理， >>

由在上單調遞減得

，且

當n為偶數時，從開始相鄰兩項配對，每組和均為負值，

即，結論成立；

當n為奇數時，從開始相鄰兩項配對，每組和均為負值，還多出最后一項也是負值，即，結論也成立。

綜上，對一切，成立.