Question

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BD上一點，且$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{ED}$．
（1）試用向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$表示向量$\overrightarrow{EA}$，$\overrightarrow{EC}$；
（2）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=1，AD=1，AB=$\sqrt{3}$，求$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EC}$．

Answer 1

分析 （1）由向量的加減運算，及向量基本定理，即可得到所求向量；
（2）運用向量的數量積的性質，向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{EA}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{BA}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DB}$-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）-$\overrightarrow{AB}$
=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$；
$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）+$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$；
（2）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=1，AD=1，AB=$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EC}$=（-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$）
=-$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{5}{9}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=-$\frac{2}{9}$×3-$\frac{2}{9}$×1-$\frac{5}{9}$×1
=-$\frac{13}{9}$．

點評 本題考查向量的加減和數量積的運算，考查向量的平方即為模的平方，以及運算能力，屬于中檔題．