Question

20．已知f （x）、g（x）都是定義在R上的函數，如果存在實數m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么稱h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的函數．
設f （x）=x²+x、g（x）=x+2，若h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的一個偶函數，且h（1）=3，則函數h（-1）=3h （x）=-3x²+6．

Answer 1

分析 先得到h（x）=mx²+（m+n）x+2n，根據h（x）為偶函數及h（1）=3便可得出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{m+2n=3}\end{array}\right.$，這樣解出m，n，便可求出h（x），并可得到h（-1）=3．

解答 解：h（x）=mf（x）+ng（x）
=m（x²+x）+n（x+2）
=mx²+（m+n）x+2n；
h（x）為偶函數；
∴m+n=0①；
又h（1）=3；
∴m+m+n+2n=3②；
聯立①②解得m=-3，n=3；
∴h（-1）=3，h（x）=-3x²+6．
故答案為：3，-3x²+6．

點評 考查對h（x）為f（x），g（x）在R上生成函數的定義的理解，以及偶函數的定義．