Question

10．已知函數f（x）=ax²-|x|+3a-1，（a為實常數）．
（1）當a=0時，求不等式f（2^x）+2≥0的解集；
（2）當a＜0時，求函數f（x）的最大值；
（3）若a＞0，設f（x）在區間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）當a=0時，f（x）=-|x|-1，不等式f（2^x）+2≥0可化為-|2^x|-1+2≥0，解得答案；
（2）當a＜0時，$f（x）=a{x^2}-|x|+2a-1=\left\{\begin{array}{l}a{（x-\frac{1}{2a}）^2}+3a-1-\frac{1}{4a}（x≥0）\\ a{（x+\frac{1}{2a}）^2}+3a-1-\frac{1}{4a}（x＜0）\end{array}\right.$結合二次函數的圖象和性質，可得x=0時，f（x）取最大值；
（3）若a＞0，分類討論函數圖象的對稱軸與區間[1，2]的位置關系，結合二次函數的圖象和性質，可得g（a）的表達式．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=-|x|-1，
則不等式f（2^x）+2≥0可化為-|2^x|-1+2≥0，
即|2^x|≤1，解之得：x≤0，
則所求不等式的解集為（-∞，0]．
（2）當a＜0時，$f（x）=a{x^2}-|x|+2a-1=\left\{\begin{array}{l}a{（x-\frac{1}{2a}）^2}+3a-1-\frac{1}{4a}（x≥0）\\ a{（x+\frac{1}{2a}）^2}+3a-1-\frac{1}{4a}（x＜0）\end{array}\right.$，
故當x=0時，f（x）_max=f（0）=3a-1（或由奇偶性直接討論x≥0時，函數f（x）的單調性，得到最大值），
（3）當x∈[1，2]時，$f（x）=a{x^2}-x+3a-1=a{（x-\frac{1}{2a}）^2}+3a-\frac{1}{4a}-1（a＞0）$，
①當$\frac{1}{2a}≤1$時，即$a≥\frac{1}{2}$時，此時x=1時，f（x）_min=f（1）=4a-2，
②當$1＜\frac{1}{2a}＜2$時，即$\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{2}$時，即$x=\frac{1}{2a}$時，$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2a}）=3a-\frac{1}{4a}-1$，
③當$\frac{1}{2a}≥2$時，即$0＜a≤\frac{1}{4}$時，此時x=2時，f（x）_min=f（2）=7a-3，
綜上所述可得：$g（a）=\left\{\begin{array}{l}4a-2，a≥\frac{1}{2}\\ 3a-\frac{1}{4a}-1，\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{2}\\ 7a-3，0＜a≤\frac{1}{4}\end{array}\right.$．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．