Question

2．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x∈[0，+∞）時，f（x）=2^x+x-m（m為常數）．
（1）求常數m的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）若對于任意x∈[-3，-2]，都有f（k•4^x）+f（1-2^x+1）＞0成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）為定義在R上的奇函數，從而有f（0）=0，進而可求出m=1；
（2）根據（1）得到，x≥0時，f（x）=2^x+x-1，根據f（x）為奇函數，可設x＜0，-x＞0，這樣便可求出x＜0時的解析式，從而便可得出f（x）的解析式；
（3）容易判斷x≥0時，f（x）為增函數，進而得出x＜0時，f（x）為增函數，而f（0）=0，從而可得出f（x）在R上單調遞增，這樣便可由f（k•4^x）+f（1-2^x+1）＞0得出$k＞\frac{-1+{2}^{x+1}}{{4}^{x}}$，可設$y=\frac{-1+{2}^{x+1}}{{4}^{x}}，x∈[-4，-2]$，化簡得到$y=-[（\frac{1}{2}）^{x}]^{2}+2•（\frac{1}{2}）^{x}$，而配方即可求出該函數在[-4，-2]上的最大值，從而得出k的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數，且定義域為R；
∴f（0）=0；
∵當x≥0時，f（x）=2^x+x-m（m為常數）；
∴f（0）=1-m，∴1-m=0；
∴m=1；
（2）由（1）知，m=1；
∴當x≥0時，f（x）=2^x+x-1；
設x＜0，則-x＞0，且f（x）為奇函數，所以：
f（-x）=2^-x-x-1=-f（x）；
∴f（x）=-2^-x+x+1；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}+x-1，x≥0\\-{2^{-x}}+x+1，x＜0\end{array}\right.$；
（3）因為當x變大時，2^x變大，x-1變大，所以2^x+x-1的值也變大；
所以f（x）在[0，+∞）上是增函數且左端點為原點；
因為，f（x）是奇函數，且f（0）=0；
所以f（x）在（-∞，0）上也是增函數，且右端點是原點；
所以f（x）在R上是增函數；
∵f（x）是奇函數；
∴f（k•4^x）+f（1-2^x+1）＞0等價于f（k•4^x）＞-f（1-2^x+1），等價于f（k•4^x）＞f（-1+2^x+1）；
∵f（x）在R上是增函數；
∴f（k•4^x）＞f（-1+2^x+1）等價于k•4^x＞-1+2^x+1；
∵4^x＞0∴k•4^x＞-1+2^x+1等價于$k＞\frac{{-1+{2^{x+1}}}}{4^x}$；
∴f（k•4^x）+f（1-2^x+1）＞0對x∈[-3，-2]恒成立等價于$k＞{（\frac{{-1+{2^{x+1}}}}{4^x}）_{max}}$；
設y=$\frac{{-1+{2^{x+1}}}}{4^x}，x∈[-3，-2]$；
∴$y=\frac{{-1+{2^{x+1}}}}{4^x}=-\frac{1}{4^x}+\frac{2}{2^x}=-{[{（\frac{1}{2}）^x}]^2}+2{（\frac{1}{2}）^x}$=$-[（\frac{1}{2}）^{x}-1]^{2}+1$；
x∈[-3，-2]，∴$（\frac{1}{2}）^{x}∈[4，8]$；
∴$（\frac{1}{2}）^{x}=4$時，y取最大值-8；
∴k＞-8；
即實數k的取值范圍為（-8，+∞）．

點評 考查奇函數的定義，奇函數在原點有定義時，原點處的函數值為0，根據奇函數定義求函數解析式的方法，指數函數和一次函數的單調性，以及增函數的定義，分段函數單調性的判斷方法，配方法求函數最大值的應用．