Question

7．已知函數f（x）=-$\frac{2x}{1+|x|}$（x∈R），區間M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f （x），x∈M}．若M=N，則b-a的值是2．

Answer 1

分析 由題設知對于集合N中的函數f（x）的定義域為[a，b]，對應的f（x）的值域為N=M=[a，b]．根據M=N，找到a，b關系，可求b-a的值．

解答 解：函數f（x）=-$\frac{2x}{1+|x|}$（x∈R），
化簡得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x+1}-2，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{\frac{2}{x-1}+2，（x＜0）}\end{array}\right.$，可知函數f（x）是單調遞減，
∵x∈M，M=[a，b]，
則對于集合N中的函數f（x）的定義域為[a，b]，
故得N=[$-\frac{2b}{1+|b|}$，$-\frac{2a}{1+|a|}$]
對應的f（x）的值域為N=M=[a，b]．
則有：$-\frac{2b}{1+|b|}$=a，$-\frac{2a}{1+|a|}$=b，
解得：b=1，a=-1，
故得b-a=2，
故答案為：2．

點評 本題考查集合相等的概念，解題時要注意絕對值的性質和應用