Question

2．已知遞增等比數列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n-2+3log₂a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意利用等比數列的通項公式和等差中項定義列出方程組，求出首項和公式比，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=a_n-2+3log₂a_n=${2}^{n}-2lo{g}_{2}{2}^{n}$=2ⁿ-2n，利用分組求和法能求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）∵遞增等比數列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項，
∴由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=28}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=2（{a}_{1}{q}^{2}+2）}\\{q＞0}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，q=2，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_n-2+3log₂a_n=${2}^{n}-2lo{g}_{2}{2}^{n}$=2ⁿ-2n，
∴S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-2（1+2+3+…+n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2×$\frac{n（1+n）}{2}$
=2ⁿ⁺¹+n²+n-2．

點評 本題考查數列的性質的應用，解題時要認真審題，注意數列與不等式的綜合運用，合理地進行等價轉化．