Question

11．對于函數f（x）=lnx的定義域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下結論：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
③$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0
上述結論中正確結論的序號是②③．

Answer 1

分析 利用對數的基本運算性質進行檢驗：①f（x₁+x₂）=ln（x₁+x₂），f（x₁）f（x₂）=lnx₁•lnx₂，則f（x₁+x₂）≠f（x₁）•f（x₂）；
②f（x₁•x₂）=lnx₁x₂=lnx₁+lnx₂=f（x₁）+f（x₂）；
③f（x）=lnx在（0，+∞）單調遞增，可得$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0．

解答 解：①∵f（x）=lnx，（x＞0）
∴f（x₁+x₂）=ln（x₁+x₂），f（x₁）f（x₂）=lnx₁•lnx₂，
∴f（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂），命題錯誤；
②∵f（x₁•x₂）=lg（x₁x₂）=lnx₁+lnx₂，
f（x₁）+f（x₂）=lnx₁+lnx₂，
∴f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），命題正確；
③f（x）=lnx在（0，+∞）上單調遞增，則對任意的0＜x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），
即$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
∴命題正確；
故答案為：②③．

點評 本題考查了對數的基本運算性質，對數函數單調性定義及應用，考查轉化思想，屬于基礎題．