Question

13．已知函數f（x）=-$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$
（1）求f（x）的單調區間
（2）當x∈$[-\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}]$，求f（x）的最值及對應x的值．

Answer 1

分析 （1）將內層函數看作整體，放到正弦函數的增（減）區間上，解不等式得函數的單調遞減（增）區間；
（2）當x∈$[-\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}]$時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值及對應x的值．

解答 解：（1）函數f（x）=-$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$$2x-\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$，
∴函數的單調遞減區間為[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
令$\frac{π}{2}+2kπ≤$$2x-\frac{π}{6}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{5π}{6}+kπ$，
∴函數的單調遞減區間為[$\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{5π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）當x∈$[-\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}]$時，
可得：$2x-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]．
∴當$2x-\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{3}$時，f（x）取得最大值為$-\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
此時x=$-\frac{π}{12}$．
當$2x-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值為$-\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{2}$．
此時x=$\frac{5π}{12}$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質的運用，屬于基礎題．