Question

19．機器人“海寶”在某圓形區域表演“按指令行走”，如圖所示，“海寶”從圓心出發，先沿北偏西θ（sinθ=$\frac{12}{13}$）方向行走13米至點A處，再沿正南方向行走14米至點B處，最后沿正東方向行走至點C處，點B，C都在圓上，則在以線段BC中點為坐標原點O，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向的直角坐標系中，圓的標準方程為x²+（y-9）²=225．

Answer 1

分析 由已知求解三角形得OT、BT的長度，以BC所在直線為x軸，以BC得垂直平分線為y軸距離平面直角坐標系，可得圓T的圓心坐標，代入圓的標準方程得答案．

解答 解：如圖所示：sinθ=$\frac{12}{13}$，TA=13，
∴cos∠ATD=sinθ=$\frac{12}{13}$，TD=TA•cos∠ATD=13×$\frac{12}{13}$=12，
AD=TA•sin∠ATD=13×$\frac{5}{13}$=5，
∴BD=14-AD=9，∴TB²=TD²+BD²=144+81=225，
以BC所在直線為x軸，以BC得垂直平分線為y軸距離平面直角坐標系，
則T（0，9），
故圓T的方程為 x²+（y-9）²=225，
故答案為：x²+（y-9）²=225．

點評 本題主要考查直角三角形中的邊角關系，求圓的標準方程，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．