Question

已知函數f（x）=alnx+x²．
（1）若a=-1，求證：當x＞1時，f（x）＜

2

3

x3+

1

3

；
（2）若對任意的x∈[1，e]，使得f（x）＞（a+2）x恒成立，求出a的范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（1）構造函數g（x），利用導數判斷函數g（x）為減函數，求出g（x）的最大值，即可證明．
（2）不等式f（x）＞（a+2）x，可化為a（x-lnx）＜x²-2x．由已知條件推導出a＜

x2-2x

x-lnx

，構造函數，利用導數求出函數的最小值就可以求出a的取值范圍

解答： 解：（1）當a=-1時，f（x）=-lnx+x²，x＞1，
∴f（x）-

2

3

x³-

1

3

=-lnx+x²-

2

3

x³-

1

3

，
設g（x）=-lnx+x²-

2

3

x³-

1

3

，
∴g′（x）=-

1

x

+2x-2x²=-

2x3-2x2+1

x

設h（x）=2x³-2x²+1，
∴h′（x）=6x²-4x，
∵x＞1，
∴h′（x）＞0恒成立，
∴函數h（x）為增函數，
∴h（x）＞h（1）=2-2+1＞1，
∴g′（x）＜-1，
∴函數g（x）為減函數，
∴g（x）＜g（1）=1-

2

3

-

1

3

=0，
∴f（x）-

2

3

x³-

1

3

＜0，
即f（x）＜

2

3

x³+

1

3

（2）解：不等式f（x）＞（a+2）x，可化為a（x-lnx）＜x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等號不能同時取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a＜

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]）
令F（x）=

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]），
又F′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
當x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
從而F′（x）≥0（僅當x=1時取等號），
∴F（x）在[1，e]上為增函數，
∴g（x）的最小值為g（1）=-1，
∴a的取值范圍是（-∞，-1]．

點評：本題考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數性質的靈活運用，合理運用分類討論思想進行解題．屬于中檔題