Question

過橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上一點M作圓x²+y²=2的兩條切線，點A，B為切點．過A，B的直線l與x軸，y軸分別交于點P，Q兩點，則△POQ的面積的最小值為

2

3

．

Answer 1

分析：由點M在橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上，知M（3cosθ，2sinθ），過橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上一點M（3cosθ，2sinθ）作圓x²+y²=2的兩條切線，點A，B為切點，知直線AB的方程為：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，由此求出直線l在x、y軸上的截距，則△POQ面積的最小值可求．

解答：解：∵點M在橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上，∴設M（3cosθ，2sinθ），
∵過橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上一點M（3cosθ，2sinθ）作圓x²+y²=2的兩條切線，點A，B為切點，
則|PA|²=|OP|²-2=9cos²θ+4sin²θ-2，
∴以P為圓心，以|PA|為半徑的圓的方程為（x-3cosθ）²+（y-2sinθ）²=9cos²θ+4sin²θ-2  ①．
又圓的方程為x²+y²=2  ②．
①-②得，直線AB的方程為：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，
∵過A，B的直線l與x軸，y軸分別交于點P，Q兩點，
∴P（

2

3cosθ

，0），Q（0，

1

sinθ

），
∴△POQ面積S=

1

2

×|

2

3cosθ

|×|

1

sinθ

|=

2

|3sin2θ|

，
∵-1≤sin2θ≤1，
∴當sin2θ=±1時，△POQ面積取最小值

2

3

．
故答案為：

2

3

．

點評：本題考查了圓與圓錐曲線的綜合，考查了數學轉化思想方法，解答的關鍵是求出經過兩個切點A，B的直線方程，考查了學生的計算能力，是中高檔題．