Question

過橢圓

x2

9

+

y2

4

=1內(nèi)一點(diǎn)M（2，0）引橢圓的動(dòng)弦AB，則弦AB的中點(diǎn)N的軌跡方程是

(x-1)2+

9

4

y2=1

．

Answer 1

分析：設(shè)出N，A，B的坐標(biāo)，將A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合N為AB的中點(diǎn)，求出AB的斜率，再利用動(dòng)弦AB過點(diǎn)M（2，0），弦AB的中點(diǎn)N，求出AB的斜率，從而可得方程，化簡即可．

解答：解：設(shè)N（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

9

+

y12

4

=1①，

x22

9

+

y22

4

=1②
①-②，可得：

(x1-x2)x

9

+

(y1-y2)y

4

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

4x

9y

∵動(dòng)弦AB過點(diǎn)M（2，0），弦AB的中點(diǎn)N，
當(dāng)M、N不重合時(shí)，有kAB=

y

x-2

∴

y

x-2

=-

4x

9y

∴

9

4

y2=-x(x-2)
∴(x-1)2+

9

4

y2=1，（m≠2）
當(dāng)M、N重合時(shí)，即M是A、B中點(diǎn)，M（2，0）適合方程(x-1)2+

9

4

y2=1，
則N的軌跡方程為(x-1)2+

9

4

y2=1，
故答案為：(x-1)2+

9

4

y2=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的綜合，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，這是解決弦中點(diǎn)問題，常用的一種方法．