Question

過橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上一點H作圓x²+y²=2的兩條切線，點A，B為切點，過A，B的直線l與x軸，y軸分布交于點P，Q兩點，則△POQ面積的最小值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  4

  3

• C．1
• D．

  2

  3

Answer 1

分析：由點H在橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上，知H（3cosθ，2sinθ），由過橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上一點H（3cosθ，2sinθ）作圓x²+y²=2的兩條切線，點A，B為切點，知直線AB的方程為：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，由此能求出△POQ面積最小值．

解答：解：∵點H在橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上，∴H（3cosθ，2sinθ），
∵過橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上一點H（3cosθ，2sinθ）作圓x²+y²=2的兩條切線，點A，B為切點，
∴直線AB的方程為：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，
∵過A，B的直線l與x軸，y軸分布交于點P，Q兩點，
∴P（

2

3cosθ

，0），Q（0，

1

sinθ

），
∴△POQ面積S=

1

2

×

2

3cosθ

×

1

sinθ

=

2

3

×

1

sin2θ

，
∵-1≤sin2θ≤1，
∴當sin2θ=1時，△POQ面積取最小值

2

3

．

點評：本題考查三角形面積的最小值的求法，具體涉及到橢圓、圓、直線方程、三角函數、參數方程等基本知識點，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．