Question

過橢圓

x2

9

+

y2

4

=1內一定點（1，0）作弦，則弦中點的軌跡方程為

 

．

Answer 1

分析：設弦兩端點坐標為（x₁，y₁），（x₂．y₂），諸弦中點坐標為（x，y）．弦所在直線斜率為k，把兩端點坐標代入橢圓方程相減，把斜率看的表達式代入后整理即可得到弦中點的軌跡方程．

解答：解：設弦兩端點坐標為（x₁，y₁），（x₂．y₂），諸弦中點坐標為（x，y）．弦所在直線斜率為k

x 2 1

9

+

y 2 1

4

=1

x 2 2

9

+

y 2 2

4

=1
兩式相減得；

1

9

（x₁+x₂）（x₁-x₂）+

1

4

（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
即

2x

9

+

2y

4

k= 0
又∵k=

y

x-1

，代入上式得
2x/9+2y^2/4（x-1）=0

2x

9

+

2y2

4(x-1)

=0
整理得諸弦中點的軌跡方程：4x²+9y²-4x=0
故答案為4x²+9y²-4x=0

點評：本題主要考查了橢圓的應用及求軌跡方程的問題．考查了學生對圓錐曲線知識綜合的把握．