Question

過橢圓

x2

9

+

y2

4

=1內一點P（1，1）作弦AB，若

AP

=

PB

，則直線AB的方程為

4x+9y-13=0

．

Answer 1

分析：利用已知條件判斷出p是中點，設出A，B的坐標，代入橢圓方程得到兩個等式，兩式相減得到直線的斜率，利用直線的點斜式求出直線的方程．

解答：解：因為

AP

=

PB

，
所以P為AB的中點，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則有

x12

9

+

y12

4

=1，

x22

9

+

y22

4

=1
相減得

(x1+x2)(x1-x2)

9

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0
所以

y1-y2

x1-x2

=-

4

9

，
所以直線的斜率為-

4

9

．
所以直線AB的方程為4x+9y-13=0．
故答案為4x+9y-13=0

點評：解決直線與圓錐曲線相交有關弦中點的問題，一般利用點差法解決可以減少計算量，但注意有時需要檢驗．