Question

16．設首項為正數的等比數列{a_n}的前n項和為80，它的前2n項和為6 560，且前n項中數值最大的項為54，則此數列的第n項a_n=2•3^n-1．

Answer 1

分析 根據S_2n-S_n=6560-80＞80，可得此數列為遞增等比數列，故q≠1，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=80①}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}=6560②}\\{{a}_{1}{q}^{n-1}=54③}\end{array}\right.$，解此不等式組求出首項a₁及公比q的值，結合等比數列的通項公式求得a_n．

解答 解：∵S_2n-S_n=6560-80＞80，
∴此數列為遞增等比數列．故q≠1．
依題設，有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=80①}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}=6560②}\\{{a}_{1}{q}^{n-1}=54③}\end{array}\right.$，
②÷①，得 1+qⁿ=82，qⁿ=81．④
④代入①，得 a₁=q-1．⑤
⑤代入③，得 qⁿ-q^n-1=54．⑥
④代入⑥，得 q^n-1=27，再代入③，得a₁=2，再代入⑤，得 q=3．
綜上可得 a₁=2，q=3．
∴a_n=2•3^n-1．
故答案是：2•3^n-1．

點評 本題主要考查等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式，屬于中檔題目．