Question

6．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+2alnx+（a+2）x，a∈R
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）是否存在實數a，對任意的x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞a恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導函數，求出函數的零點，再進行分類討論，從而可確定函數y=f（x）的單調性與單調區間．
（2）對任意的x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞a恒成立，得到f′（x）=$\frac{2a}{x}$+（2+a）+x＞a，在（0，1）恒成立，由此可求a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=$\frac{2a}{x}$+（2+a）+x=$\frac{（x+2）（x+a）}{x}$（x＞0），
由f′（x）=0，x₂=-a，x=-2（舍去）
①當a≥0時，f′（x）＞0，恒成立，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
②當a＜0時，f′（x）＞0，又x＞0，可得x＞-a，令f′（x）＜0，可得0＜x＜-a，
∴函數f（x）的單調增區間是（-a，+∞），單調減區間是（0，-a）；
（2）∵對任意的x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞a恒成立
∴f′（x）=$\frac{2a}{x}$+（2+a）+x＞a，在（0，1）恒成立，
∴2a＞-x²-2x=-（x+1）²+1，
設g（x）=-（x+1）²+1，x∈（0，1），
∴g（x）在（0，1）上單調遞減，
∴g（x）＜g（0）=0
∴2a≥0，
∴a≥0，
故a的取值范圍為[0，+∞）

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．