Question

19．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}y≤x\\ x+y≥1\\ y≥3x-6\end{array}\right.$，則x²+y²+2（x-y）的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 z=x²+y²+2（x-y）=（x+1）²+（y-1）²-2利用z的幾何意義，利用數形結合即可得到結論．

解答 解：作出變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}y≤x\\ x+y≥1\\ y≥3x-6\end{array}\right.$，對應的平面區域如圖
z=x²+y²+2（x-y）=（x+1）²+（y-1）²-2，則z的幾何意義是，區域內的點到點D（-1，1）的距離的平方減2，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$解得A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
由圖象可知點D到A的距離d即為z=d²-2最小值，
則z=$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+2（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$，
故x²+y²+2（x-y）的最小值為$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用z的幾何意義，結合點到直線的距離公式是解決本題的關鍵．