Question

10．已知函數f（x）=2mlnx-x，g（x）=$\frac{{3{e^x}-3}}{x^2}$（m∈R，e為自然對數的底數）．
（1）試討論函數f（x）的極值情況；
（2）證明：當m＞1且x＞0時，總有g（x）+3f'（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求出導函數，對參數m分類討論，得出函數的極值情況；
（2）g（x）+3f'（x）＞0等價于3e^x-3x²+6mx-3＞0，
構造函數u（x）=3e^x-3x²+6mx-3，通過二次求導判斷導函數的單調性，進而得出u（x）=3e^x-3x²+6mx-3，
得出當x＞0時，u（x）＞u（0）=0，得出結論成立．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），$f'（x）=\frac{2m}{x}-1$=$-\frac{x-2m}{x}$．
①當m≤0時，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）內單調遞減，f（x）無極值；
②當m＞0時，令f'（x）＞0，得0＜x＜2m；令f'（x）＜0，得x＞2m．
故f（x）在x=2m處取得極大值，且極大值為f（2m）=2mln（2m）-2m，f（x）無極小值．
（2）證明：當x＞0時，g（x）+3f'（x）＞0，
?$\frac{{3{e^x}-3}}{x^2}+\frac{6m}{x}-3＞0?$3e^x-3x²+6mx-3＞0．
設函數u（x）=3e^x-3x²+6mx-3，
則u'（x）=3（e^x-2x+2m）．記v（x）=e^x-2x+2m，
則v'（x）=e^x-2．
當x變化時，v'（x），v（x）的變化情況如下表：

由上表可知v（x）≥v（ln2），
而v（ln2）=e^ln2-2ln2+2m=2-2ln2+2m=2（m-ln2+1），
由m＞1，知m＞ln2-1，
所以v（ln2）＞0，
所以v（x）＞0，即u'（x）＞0．
所以u（x）在（0，+∞）內為單調遞增函數．
所以當x＞0時，u（x）＞u（0）=0．
即當m＞1且x＞0時，3e^x-3x²+6mx-3＞0．
所以當m＞1且x＞0時，總有g（x）+3f'（x）＞0．

點評 本題考查了極值的概念和二次求導，利用導數判斷函數的單調性，難點是轉化思想的應用．