Question

5．已知拋物線C：y²=4x的焦點是F，直線l₁：y=x-1交拋物線于A，B兩點，分別從A，B兩點向直線l₂：x=-2作垂線，垂足是D，C，則四邊形ABCD的周長為$18+4\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 方法一：將直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理及拋物線的焦點弦公式，求得丨AB丨，根據拋物線的定義，即可求得丨AD丨+丨BC丨，則丨CD丨=丨BH丨=丨AB丨×sinα，即可求得四邊形ABCD的周長；
方法二：根據拋物線焦點弦的二級公式，丨AB丨=$\frac{2p}{si{n}^{2}α}$，根據拋物線的定義，即可求得丨AD丨+丨BC丨，則丨CD丨=丨BH丨=丨AB丨×sinα，即可求得四邊形ABCD的周長．

解答 解：方法一：拋物線C：y²=4x的焦點是F（1，0），直線直線l₁：y=x-1故拋物線的焦點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，整理得：x²-6x+1=0，
x₁+x₂=6，
由丨AB丨=x₁+x₂+p=6+2+8，
由拋物線的定義可知：丨AD丨+丨BC丨=丨AB丨+2=10，
過B作BH⊥AD，
則由直線AB的傾斜角α=$\frac{π}{4}$，
則丨BH丨=丨AB丨×sinα=4$\sqrt{2}$，則丨CD丨=丨BH丨=4$\sqrt{2}$，
四邊形ABCD的周長丨AB丨+丨AD丨+丨BC丨+丨CD丨=18+4$\sqrt{2}$，
故答案為：18+4$\sqrt{2}$．
方法二：拋物線C：y²=4x的焦點是F（1，0），直線直線l₁：y=x-1故拋物線的焦點，由直線AB的傾斜角α=$\frac{π}{4}$，
由丨AB丨=$\frac{2p}{si{n}^{2}α}$=$\frac{4}{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=8，
由拋物線的定義可知：丨AD丨+丨BC丨=丨AB丨+2=10，
則丨BH丨=丨AB丨×sinα=4$\sqrt{2}$，則丨CD丨=丨BH丨=4$\sqrt{2}$，
四邊形ABCD的周長丨AB丨+丨AD丨+丨BC丨+丨CD丨=18+4$\sqrt{2}$，
故答案為：18+4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與拋物線位置關系，考查拋物線的焦點弦公式，拋物線的定義，考查數形結合思想，屬于中檔題．