Question

9．已知數列{a_n}的首項a₁=1，且a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*）．
（1）證明：數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=a_na_n+1，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），兩邊取倒數可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2．即可證明．
（2）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用裂項求和方法即可得出．

解答 （1）證明：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），兩邊取倒數可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2．
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數列，公差為2，首項為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1=2（n-1）=2n-1．
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（2）解：b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴數列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．