Question

1．已知F₁，F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的兩焦點，在雙曲線上存在一點P，使得∠F₁PF₂=60°，且S_△F1PF2=$\sqrt{3}$，則雙曲線的漸進線方程為（　　）

• A． 2x±y=0
• B． x±2y=0
• C． $\sqrt{3}$x±y=0
• D． x±$\sqrt{3}$y=0

Answer 1

分析 根據雙曲線焦點三角的面積公式：S_△F1PF2=$\frac{1}{2}$•丨PF₁丨•丨PF₂丨sinθ=$\frac{{b}^{2}}{tan\frac{θ}{2}}$$\frac{{b}^{2}}{tan30°}$，即$\frac{{b}^{2}}{tan30°}$=$\sqrt{3}$，求得b的值，即可求得雙曲線方程，求得雙曲線的漸進線方程．

解答 解：由題意可知：雙曲線的焦點三角的面積公式：
S_△F1PF2=$\frac{1}{2}$•丨PF₁丨•丨PF₂丨sinθ=$\frac{1}{2}$•2b²•$\frac{sinθ}{1-cosθ}$=$\frac{{b}^{2}}{tan\frac{θ}{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{tan30°}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{tan30°}$=$\sqrt{3}$，解得：b²=1，
∴雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$，
∴漸近線方程為：y=±$\frac{1}{2}$x，
即2y±x=0，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的焦點三角形的面積公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．