Question

18．若（a-2）（a-1）x²+2（a-2）x-4＜0對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{6}{5}$，2]．

Answer 1

分析 將不等式看成二次函數(shù)恒成立問題，利用二次函數(shù)＜0對一切x∈R恒成立，可得（a-2）（a-1）＜0，△＜0，即可求解實數(shù)a的取值范圍．（注意對二次項系數(shù)=0討論）

解答 解：由題意：（a-2）（a-1）x²+2（a-2）x-4＜0對一切x∈R恒成立，
當（a-2）（a-1）≠0時，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得（a-2）（a-1）＜0，△＜0，
即$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）（a-1）＜0}\\{4（a-2）^{2}+16（a-2）（a-1）＜0}\end{array}\right.$
解得：$\frac{6}{5}＜a＜2$，
當a-2=0時，即-4＜0對一切x∈R恒成立，
所以實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{6}{5}$，2]．

點評 本題主要考查了函數(shù)恒成立問題的求解，分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．利用了二次函數(shù)數(shù)的性質(zhì)．屬于中檔題．