Question

9．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由條件利用正弦定理可得b²+c²-bc=4．再由余弦定理可得A=$\frac{π}{3}$，利用基本不等式可得bc≤4，當且僅當b=c=4時，取等號，此時，△ABC為等邊三角形，從而求得它的面積的值．

解答 解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a-b）=（c-b）c，
即 b²+c²-bc=4，即b²+c²-4=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
再由b²+c²-bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，當且僅當b=c=2時，取等號，
此時，△ABC為等邊三角形，
它的面積為 $\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查正弦定理的應用，基本不等式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．