Question

13．分別求出滿足下列條件的橢圓的標準方程：
（1）短軸長為6，兩個焦點間的距離為8；
（2）離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓經過點（4，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 （1）由短軸長求出b，再由兩個焦點間的距離求出c則橢圓的標準方程可求；
（2）由已知得到方程組，求解即可得答案．

解答 解：（1）短軸長為6，則2b=6 故b=3，兩個焦點間的距離為8，即2c=8，c=4，
又a²=b²+c²，
∴a²=25．
∴橢圓的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
（2）∵離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，經過點（4，2$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{16}{{a}^{2}}+\frac{12}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=8，b²=2．
∴橢圓的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點評 本題考查了橢圓的簡單性質，考查了橢圓的標準方程，是中檔題．