Question

設a，b＞0，a≠b，lna-lnb=a-b，給出下列結論，
①0＜ab＜1，②O＜a+b＜2，③a+b-ab＞1．
其中所有正確結論的序號是

 

．

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：由lna-lnb=a-b，化為lna-a=lnb-b．令f（x）=lnx-x，（x＞0），利用導數可得函數f（x）的單調性，畫出圖象．不妨設0＜a＜b．0＜a＜1＜b．0＜

1

b

＜1．
①證明ab＜1，只要證明a＜

1

b

，即可，即證明lnb-b＜ln

1

b

-

1

b

，構造函數g（b），利用導數研究其單調性即可得出．
②由圖象可得b-1＞1-a，可得a+b＞2，即可判斷出正誤；
③由圖象可得：（a-1）（b-1）＜0，化簡即可判斷出正誤．

解答： 解：lna-lnb=a-b，化為lna-a=lnb-b．
令f（x）=lnx-x，（x＞0），
f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
當x＞1時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減；當0＜x＜1時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增．
∴當x=1時，函數f（x）取得最大值，f（1）=-1．
∵a，b＞0，a≠b，不妨設0＜a＜b．
又f（a）=f（b），
則0＜a＜1＜b，0＜

1

b

＜1．
①證明ab＜1，只要證明a＜

1

b

，
∵0＜a＜

1

b

＜1，
∴只要證明f（a）＜f（

1

b

）即可，
∵f（a）=f（b），
∴只要證明f（b）＜f（

1

b

）即可，
即證明lnb-b＜ln

1

b

-

1

b

，
化為g（b）=2lnb-b+

1

b

＜0，（b＞1）．
g′（b）=

2

b

-1-

1

b2

=

-(b-1)2

b2

＜0，
∴函數g（b）在b＞1時單調遞減，
∴g（b）＜g（1）=0，
因此f（b）＜f（

1

b

）成立，即f（a）＜f（

1

b

）成立，
∴a＜

1

b

＜1，
∴0＜ab＜1正確，①正確．
②由圖象可得b-1＞1-a，∴a+b＞2，∴②不正確；
③∵（a-1）（b-1）＜0，∴a+b-ab＞1，因此③正確．
綜上可得：①③正確．
故答案為：①③．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、證明不等式，考查了數形結合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題