Question

復數z=

(1+i)2+3(1-i)

2+i

，若z²+

a

z

＜0，求純虛數a．

Answer 1

考點：復數代數形式的混合運算,復數代數形式的乘除運算

專題：數系的擴充和復數

分析：利用復數的運算法則可得：復數z=1-i．設a=bi（b∈R），再利用復數的運算法則把z²+

a

z

＜0，化為-

b

2

+(

b

2

-2)i＜0，從而得到-

b

2

＜0，

b

2

-2=0，解得b即可．

解答： 解：復數z=

(1+i)2+3(1-i)

2+i

=

2i+3-3i

2+i

=

(3-i)(2-i)

(2+i)(2-i)

=

5-5i

5

=1-i．
設a=bi（b∈R），
∴z²+

a

z

=(1-i)2+

bi

1-i

=-2i+

bi(1+i)

(1-i)(1+i)

=-2i+

-b+bi

2

=-

b

2

+(

b

2

-2)i＜0，
∴-

b

2

＜0，

b

2

-2=0，解得b=4．
∴a=4i．

點評：本題考查了復數的運算法則、純虛數的定義、復數為實數的充要條件，考查了計算能力，屬于基礎題．