Question

如果x為實數，那么

x2

1+x4

≤

1

2

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：當x=0時，原不等式顯然成立；當x≠0時，由基本不等式可得

1

x2

+x2≥2，可得

x2

1+x4

=

1

1 x2 +x2

≤

1

2

，綜合可得結論．

解答： 解：當x=0時，原不等式顯然成立；
當x≠0時，則x²≠0，
分子分母同除以x²可得

x2

1+x4

=

1

1 x2 +x2

，
由基本不等式可得

1

x2

+x2≥2

1 x2 •x2

=2，
∴

x2

1+x4

=

1

1 x2 +x2

≤

1

2

當且僅當

1

x2

=x²即x=±1時取等號．
綜上可得對任意實數x，都有

x2

1+x4

≤

1

2

．

點評：本題考查基本不等式求最值，涉及不等式的性質和分類討論的思想，屬中檔題．