Question

設兩點在拋物線上，是的垂直平分線，（1）當且僅當取何值時，直線經過拋物線的焦點？證明你的結論；（2）當直線的斜率為時，求在軸上的截距的取值范圍。

Answer 1

⑴當且僅當時，經過拋物線的焦點

⑵在軸上截距的取值范圍為

解析:

（Ⅰ）兩點到拋物線的準線的距離相等，

          ∵拋物線的準線是軸的平行線，，依題意不同時為0

∴上述條件等價于

∵

∴上述條件等價于

即當且僅當時，經過拋物線的焦點。

（Ⅱ）設在軸上的截距為，依題意得的方程為；過點的直線方程可寫為，所以滿足方程

        得

  為拋物線上不同的兩點等價于上述方程的判別式，即

設的中點的坐標為，則

，

由，得，于是

即得在軸上截距的取值范圍為