Question

設兩點在拋物線上，l 是AB的垂直平分線，

（Ⅰ）當且僅當取何值時，直線 l 經過拋物線的焦點F？證明你的結論；

（Ⅱ）當時，求直線 l 的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）F∈l|FA|=|FB|A、B兩點到拋物線的準線的距離相等，

∵拋物線的準線是x軸的平行線，y₁≥0，y₂≥0依題意y₁，y₂不同時為0，

∴上述條件等份于y₁=y₂=(x₁+x₂)(x₁-x₂)=0;

∵x₁≠x₂，

∴上述條件等份于.

即當且僅當時，l經過拋物線的焦點F.

(Ⅱ)y₁=2=2，y₂=2=18.

∴過點A、B的直線的斜率為=-4

∵l與AB垂直，

∴l的斜率為.

又線段AB的中點坐標為（），即（-1，10）.

∴l的直線方程為y-10=(x+1).

即所求的方程為x-4y+41=0.