Question

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點在拋物線y=2x²上，l是AB的垂直平分線，
（Ⅰ）當且僅當x₁+x₂取何值時，直線l經過拋物線的焦點F？證明你的結論；
（Ⅱ）當x₁=1，x₂=-3時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線y=2x²，得出其焦點．下面分類討論：（1）直線l的斜率不存在時，（2）直線l的斜率存在時，分別求解當x₁+x₂取何值時，直線l經過拋物線的焦點F即可；
（Ⅱ）設為l：y=kx+b，則由（Ⅰ）得關于k，b的方程組，解此方程組即可得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y=2x²，即x2=

y

2

，∴p=

1

4

，
∴焦點為F(0，

1

8

)（1分）
（1）直線l的斜率不存在時，顯然有x₁+x₂=0（3分）
（2）直線l的斜率存在時，設為k，截距為b
即直線l：y=kx+b
由已知得：

y1+y2 2 =k• x1+x2 2 +b y1-y2 x1-x2 =- 1 k

（5分）?

2x 2 1 + 2x 2 2 2 =k• x1+x2 2 +b 2x 2 1 - 2x 2 2 x1-x2 =- 1 k

?

x 2 1 + x 2 2 =k• x1+x2 2 +b x1+x2=- 1 2k

（7分）?

x

2 1

+

x

2 2

=-

1

4

+b≥0?b≥

1

4

即l的斜率存在時，不可能經過焦點F(0，

1

8

)（8分）
所以當且僅當x₁+x₂=0時，直線l經過拋物線的焦點F（9分）
（Ⅱ）當x₁=1，x₂=-3時，
直線l的斜率顯然存在，設為l：y=kx+b（10分）
則由（Ⅰ）得：

x 2 1 + x 2 2 =k• x1+x2 2 +b x1+x2=- 1 2k

?

k• x1+x2 2 +b=10 - 1 2k =-2

（11分）?

k= 1 4 b= 41 4

（13分）
所以直線l的方程為y=

1

4

x+

41

4

，即x-4y+41=0（14分）

點評：本小題主要考查直線的一般式方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、轉化思想．屬于中檔題．