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設A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是拋物線y=x2上的三個動點,其中x3>x2≥0,△ABC是以B為直角頂點的等腰直角三角形.
(1)求證:直線BC的斜率等于x2+x3,也等于
x2-x1x3-x2

(2)求A、C兩點之間距離的最小值.
分析:(1)設出直線BC的斜率,把點B,C代入拋物線方程,求得橫坐標和縱坐標的關系代入斜率公式中,判斷出k>0,同時根據AB⊥BC則可表示出AB的斜率,然后根據弦長公式表示出AB和BC的長,根據題意使二者相等,整理出k的表達式,題設得證.
(2)x3=k-x2,x1=-
1
k1
-x2
,代入(1)中k的表達式,依據x2的范圍判斷出k的范圍,進而利用弦長公式,表示出|AC|,進而利用均值不等式求得其最小值.
解答:解:
(1)證明設直線BC的斜率為k,
∵y2=x22,y3=x32,x3>x2≥0,
k=
y3-y2
x3-x2
=
x32-x22
x3-x2
=x3+x2
>0,
又∵AB⊥BC,∴直線AB的斜率為-
1
k1
=x1+x2
<0,
∴x1<-x2<0,由|AB|=|BC|,得
1+(-
1
k
)
2
|x2-x1|=
1+k2
|x2-x3|,
整理,得:k2=(
x2-x1
x3-x2
)2
,而x3>x2≥0>x1
且k>0,∴k=
x2-x1
x3-x2


(2)將x3=k-x2,x1=-
1
k1
-x2
,代入k=
x2-x1
x3-x2
中,
整理,得x2=
k3-1
2k(k+1)

∵x2≥0,k>0,∴k≥1,
∵|AC|=
2
|BC|=
2
1+k2
|x3-x2|
=
2
1+k2
(k-
k3-1
k(k+1)

=
2(1+k2)
1+k2
k(k+1)
k2+1+2k
2k
k(k+1)
=2

∴當且僅當k=1時,|AC|的最小值為2.
點評:本題主要考查了拋物線的應用,斜率公式及弦長公式的綜合應用.考查了學生運算能力,推理能力和綜合運用所學知識的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,直線l過點F交拋物線C于A、B兩點.
(Ⅰ)設A(x1,y1),B(x2,y2),求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在定點Q,使得無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF?證明你的結論.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設A(x1,y1),B(x2,y2)是函數f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點,且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,O為坐標原點,已知點M的橫坐標為
1
2

(Ⅰ)求證:點M的縱坐標為定值;
(Ⅱ)定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求S2011
(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的Sn,設an=
1
2Sn+1
(n∈N*)
.若對于任意n∈N*,不等式kan3-3an2+1>0恒成立,試求實數k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
上的兩點,已知O為坐標原點,橢圓的離心率e=
3
2
,短軸長為2,且
m
=(
x1
b
y1
a
),
n
=(
x2
b
y2
a
)
,若
m
n
=0

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線AB過橢圓的焦點F(0,c)(c為半焦距),求△AOB的面積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設A(x1,y1),B(x2,y2)是函數f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點,且
OM
=
1
2
OA
+
OB
),已知點M的橫坐標為
1
2
,且有Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
),其中n∈N*且n≥2,
(1)求點M的縱坐標值;
(2)求s2,s3,s4及Sn
(3)已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
,其中n∈N*,且Tn為數列{an}的前n項和,若Tn≤λ(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求λ的最小正整數值.

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