Question

平面內動點P(x，y)與兩定點A(-2, 0), B(2,0)連線的斜率之積等于，若點P的軌跡為曲線E，過點 直線 交曲線E于M，N兩點．

（Ⅰ）求曲線E的方程，并證明：MAN是一定值；

（Ⅱ）若四邊形AMBN的面積為S，求S的最大值

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）16

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設出P點坐標，求出AP，BP的斜率，根據條件直線AP、BP斜率之積為列出關于P點坐標的方程，化簡即得曲線E方程，設出M、N點坐標及直線方程，將直線方程代入曲線E的方程化為關于的一元二次方程，利用根與系數關系及設而不求思想，利用向量法求出與的夾角，即證明了MAN是一定值；（Ⅱ）利用設而不求思想，將四邊形ANBN的面積用參數表示出來，再利用函數求最值的方法，求出其面積的最大值．

試題解析：（Ⅰ）設動點P坐標為，當時，由條件得：

，化簡得

曲線E的方程為，, 4分

（說明：不寫的扣1分）

由題可設直線的方程為,聯立方程組可得

,化簡得：

設,則， （6分）

又,則

,

所以,所以的大小為定值 （8分）

(Ⅱ)

令設

在上單調遞減．

由，得K=0，此時有最大值16 （12分）

考點：求曲線方程，直線與橢圓的位置，與圓錐曲線有關的最值問題和定制問題，推理論證能力，運算求解能力