Question

17．已知函數$y=x+\frac{t}{x}$有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數在$（0，\sqrt{t}]$上是減函數，在$[\sqrt{t}，+∞）$上是增函數．
（1）已知f（x）=$\frac{4{x}^{2}+4x+5}{2x+1}$-8，x∈[0，1]，利用上述性質，求函數f（x）的單調區間和值域；
（2）對于（1）中的函數f（x）和函數g（x）=-x-2a，若對任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x），設u=2x+1，x∈[0，1]，1≤u≤3，則$y=u+\frac{4}{u}-8$，u∈[1，3]．運用性質，即可得到單調區間和值域；
（2）求得g（x） 的值域，由題意f（x）的值域是g（x）值域的子集，得到不等式組，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）$y=f（x）=\frac{{4{x^2}-12x-3}}{2x+1}=2x+1+\frac{4}{2x+1}-8$，
設u=2x+1，x∈[0，1]，1≤u≤3，
則$y=u+\frac{4}{u}-8$，u∈[1，3]．
由已知性質得，當1≤u≤2，即$0≤x≤\frac{1}{2}$時，f（x）單調遞減，
所以減區間為$[0，\frac{1}{2}]$；當2≤u≤3，即$\frac{1}{2}≤x≤1$時，f（x）單調遞增，
所以增區間為$[\frac{1}{2}，1]$；由f（0）=-3，$f（\frac{1}{2}）=-4$，$f（1）=-\frac{11}{3}$，
得f（x）的值域為[-4，-3]．
（2）g（x）=-x-2a為[0，1]上的減函數，
故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]，
由題意f（x）的值域是g（x）值域的子集，
∴$\left\{\begin{array}{l}-1-2a≤-4\\-2a≥-3\end{array}\right.$，∴$a=\frac{3}{2}$．
即a的取值范圍是{$\frac{3}{2}$}．

點評 本題考查函數的單調區間和值域的求法，函數的任意和存在問題的解法，考查化簡運算能力，屬于中檔題．