Question

比較2ⁿ與n²的大小（n∈N*）．

Answer 1

【答案】分析：比較兩數(shù)（或式）大小的常用方法本題不適用，故考慮用歸納法推測(cè)大小關(guān)系，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，2¹＞1²，
當(dāng)n=2時(shí)，2²=2²，當(dāng)n=3時(shí)，2³＜3²，
當(dāng)n=4時(shí)，2⁴=4²，當(dāng)n=5時(shí)，2⁵＞5²，
猜想：當(dāng)n≥5時(shí)，2ⁿ＞n²．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=5時(shí)，2⁵＞5²成立．
（2）假設(shè)n=k（k∈N*，k≥5）時(shí)2^k＞k²，
那么2^k+1=2•2^k=2^k+2^k＞k²+（1+1）^k＞k²+C_k+C_k¹+C_k^k-1=k²+2k+1=（k+1）²．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，2ⁿ＞n²．
由（1）（2）可知，對(duì)n≥5的一切自然數(shù)2ⁿ＞n²都成立．
綜上，得當(dāng)n=1或n≥5時(shí)，2ⁿ＞n²；當(dāng)n=2，4時(shí)，2ⁿ=n²；當(dāng)n=3時(shí)，2ⁿ＜n²．
點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證不等式時(shí)，要恰當(dāng)?shù)販惓瞿繕?biāo)和湊出歸納假設(shè)，湊目標(biāo)時(shí)可適當(dāng)放縮．