Question

10、比較2ⁿ與n²的大小（n∈N*）．

Answer 1

分析：比較兩數（或式）大小的常用方法本題不適用，故考慮用歸納法推測大小關系，再用數學歸納法證明．

解答：解：當n=1時，2¹＞1²，
當n=2時，2²=2²，當n=3時，2³＜3²，
當n=4時，2⁴=4²，當n=5時，2⁵＞5²，
猜想：當n≥5時，2ⁿ＞n²．
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=5時，2⁵＞5²成立．
（2）假設n=k（k∈N*，k≥5）時2^k＞k²，
那么2^k+1=2•2^k=2^k+2^k＞k²+（1+1）^k＞k²+C_k⁰+C_k¹+C_k^k-1=k²+2k+1=（k+1）²．
∴當n=k+1時，2ⁿ＞n²．
由（1）（2）可知，對n≥5的一切自然數2ⁿ＞n²都成立．
綜上，得當n=1或n≥5時，2ⁿ＞n²；當n=2，4時，2ⁿ=n²；當n=3時，2ⁿ＜n²．

點評：用數學歸納法證不等式時，要恰當地湊出目標和湊出歸納假設，湊目標時可適當放縮．