Question

對(duì)于n∈N，試比較2ⁿ與n²的大小.

Answer 1

解析：先驗(yàn)算n=1時(shí)，2ⁿ＞n²，n=2和n=4時(shí)，2ⁿ=n²,n=3時(shí),2ⁿ＜n².

而當(dāng)n=5時(shí)，有2ⁿ＞n²,猜測(cè)對(duì)n≥5有2ⁿ＞n².

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

（1）當(dāng)n=5時(shí)，已證.

（2）設(shè)當(dāng)n=k(k≥5)時(shí)，2^k＞k²且k²＞2k+1.

當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1=2·2^k＞2k²＞k²+2k+1=(k+1)²,

即n=k+1時(shí)成立.

由（1）、（2），知猜測(cè)正確.