Question

比較2ⁿ與n²的大小(n∈N^*).

Answer 1

思路分析：從特例入手，探求2ⁿ與n²的大小關系，也可從y=2^x與y=x²的圖象(x＞0)的變化趨勢，猜測2ⁿ與n²的大小.

解：當n=1時，2¹＞1²,即2ⁿ＞n²,

當n=2時，2²=2²,即2ⁿ=n²,

當n=3時，2³＜3²,即2ⁿ＜n²,

當n=4時，2⁴=4²，即2ⁿ=n²,

當n=5時，2⁵＞5²,即2ⁿ＞n²,

當n=6時，2⁶＞6²，即2ⁿ＞n²,

……

猜測：當n≥5時,2ⁿ＞n².

下面用數學歸納法證明猜測成立.

(1)當n=5時，由上可知猜測成立.

(2)設n=k(k≥5)時，命題成立，即2^k＞k².

當n=k+1時，2^k+1=2·2^k＞2k²=k²+k²＞k²+(2k+1)=(k+1)²,即n=k+1時命題成立.

由(1)和(2)，可得n≥5時，2ⁿ＞n².