Question

3．函數y=a^2-x+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny-1=0，（mn＞0）上，則 $\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為8．

Answer 1

分析 由于函數y=a^2-x+1（a＞0，a≠1）圖象恒過定點A（2，2），又點A在直線mx+ny-1=0上（mn＞0），可得2（m+n）=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出．

解答 解：函數y=a^2-x（a＞0，a≠1）圖象恒過定點A（2，2），
∵點A在直線mx+ny-1=0上（mn＞0），∴2m+2n=1，
又mn＞0．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=2（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=4+2（$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$）≥4+4$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{m}}$=8，
當且僅當m=n=$\frac{1}{4}$時取等號．
故答案為：8．

點評 本題考查了指數函數的性質、“乘1法”和基本不等式的性質，屬于中檔題．