Question

設向量

a

=（sinx-1，1），

b

=（sinx+3，1），

c

=（-1，-2），

d

=（k，1），k∈R．
（Ⅰ）若x∈[-

π

2

，

π

2

]，且

a

∥（

b

+

c

），求x的值；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得（

a

+

d

）⊥（

b

+

c

），求k的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的求值,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）運用向量的共線的坐標表示及三角函數的圖象和性質，即可解得x；
（Ⅱ）運用向量的垂直的條件，以及參數分離和正弦函數的值域，即可求得k的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由于

b

=（sinx+3，1），

c

=（-1，-2），
則

b

+

c

=（sinx+2，-1），

a

=（sinx-1，1），且

a

∥（

b

+

c

），
則有sinx+2=1-sinx，即sinx=-

1

2

，
由于x∈[-

π

2

，

π

2

]，則x=-

π

6

；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得（

a

+

d

）⊥（

b

+

c

），
則有（sinx-1+k）（sinx+2）-2=0，
即有k=

2

2+sinx

+1-sinx，令2+sinx=t（1≤t≤3）
則k=

2

t

-t+3，k′=-

2

t2

-1＜0，則k在[1，3]上遞減，
則有

2

3

≤k≤4，
故k的取值范圍是[

2

3

，4]．

點評：本題考查平面向量的共線的坐標表示，向量垂直的坐標表示，考查三角函數的求值及正弦函數的值域，考查運算能力，屬于中檔題．