Question

已知拋物線C：y²=4x和直線l：y=x+4．
（Ⅰ）求拋物線C上一點到直線l的最短距離；
（Ⅱ）設M為l上任意一點，過M作兩條不平行于x軸的直線．若這兩條直線與拋物線C都只有一個公共點，這兩個公共點分別記為A，B，證明：直線AB過定點．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設所求點為（x，y），求出點到直線l的距離，利用配方法，即可得出結論；
（Ⅱ）設切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為，代入x²=4y，消元，利用△=0，即可確定k=

x1

2

，利用切線過點M（x₀，y₀），所以可得y₀=

x1

2

x₀-y₁，同理可得y₀=

x2

2

x0-y，由此可得直線AB的方程，從而可得直線AB過定點．

解答： 解：（Ⅰ）設所求點為（x，y），則d=

|x-y+4|

2

=

| y2 4 -y+4|

2

=

| 1 4 (y-2)2+3|

2

，
∴y=2時，即（1，2）到直線l的距離最短，最短距離為

3 2

2

；
（Ⅱ）設切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為y-y₁=k（x-x₁），代入x²=4y，消元，利用△=0，即可確定k=

x1

2

，利用切線過點M（x₀，y₀），所以可得y₀=

x1

2

x₀-y₁，同理可得y₀=

x2

2

x0-y，由此可得直線AB的方程y₀=

x

2

x₀-y，即直線AB的方程為x₀x=2（y₀+y）
又M（x₀，y₀）為直線l：y=x+4上任意一點，故x₀x=2（x₀+4+y），所以x=2，y=-4，從而直線AB恒過定點（2，-4）．

點評：本題考查拋物線的切線，考查直線恒過定點，考查學生分析解決問題的能力，確定切線方程，及直線AB的方程是關鍵．