Question

已知M（a，2）是拋物線y²=2x上的一點，傾斜角為銳角的直線MP，MQ分別與拋物線交于P，Q兩點，且直線MP，MQ的斜率之積為0.25，則直線PQ斜率的最大值是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知得M（2，2），設PM的斜率為k（k＞0），則MQ的斜率為

1

4k

，直線PM的方程為y-2=k（x-2），代入拋物線y²=2x，得y2-

2y

k

+

4

k

-4=0，從而P（2（

1

k

-1）²，

2

k

-2），同理Q（2（4k-1）²，2（4k-1）），由此能求出直線PQ的斜率的最大值．

解答： 解：∵M（a，2）是拋物線y²=2x上的一點，
∴2a=4，解得a=2，即M（2，2），
設PM的斜率為k（k＞0），
∵且直線MP，MQ的斜率之積為0.25，∴MQ的斜率為

1

4k

，
∴直線PM的方程為y-2=k（x-2），代入拋物線y²=2x，并消x，得：
y2-

2y

k

+

4

k

-4=0，
∴此直線與拋物線交于P，M兩點，∴2y_P=

4

k

-4，
∴yP=

2

k

-2，∴P（2（

1

k

-1）²，

2

k

-2），
同理，Q點坐標為Q（2（4k-1）²，2（4k-1）），
∴PQ的斜率k=

2(4k-1)-( 2 k -2)

[2(4k-1)2]-[2( 1 k -1)2]

=

1

4k+ 1 k -2

≤

1

2 4k× 1 k -2

=

1

2

，
當且僅當4k=

1

k

，即k=

1

2

時，取等號，
∴直線PQ的斜率的最大值為

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查直線的斜率的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．