Question

定義在（0，+∞）上的函數f（x）=

xeax，0＜x＜1 2x+1，x≥1

，（其中e為自然對數的底數）．
（1）若函數f（x）在x=1處連續，求實數a的值；
（2）設數列{a_n}的各項均大于1，且a_n+1=f（2a_n-1）-1，a₁=m，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合

專題：函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：（1）通過函數f（x）在x=1處連續，得到方程，即可求實數a的值；
（2）設數列{a_n}的各項均大于1，利用a_n+1=f（2a_n-1）-1，a₁=m，推出數列 { a_n-

2

3

}是以a₁-

2

3

=m-

2

3

為首項，4為公比的等比數列，即可求數列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）∵函數f （x） 在x=1處連續，f（1）=2×1+1=3，
∴

lim

x→x-1

f(x)=ea=

lim

x→1

f(x)，3=e^a，∴a=ln 3． …（5分）
（2）∵對任意n有a_n＞1，∴f （2a_n-1）=2 （2a_n-1）+1=4a_n-1，
于是a_n+1=f（2a_n-1）-1=（4a_n-1）-1=4a_n-2，
∴a_n+1-

2

3

=4（a_n-

2

3

），表明數列 { a_n-

2

3

}是以a₁-

2

3

=m-

2

3

為首項，4為公比的等比數列，
于是 a_n-

2

3

=（m-

2

3

）•4^n-1，
從而a_n=（m-

2

3

）•4^n-1+

2

3

． …（12分）

點評：本題考查數列與函數相結合，遞推關系式的應用，函數的連續性的應用，考查分析問題與解決問題的能力．