Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=e an-a_n-1，求證：0＜a_n+1＜a_n．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：利用數學歸納法即可證明．

解答： 證明：利用數學歸納法證明：a_n+1＜a_n．
（1）當n=1時，a2=ea1-a1-1=e-1-1＜1=a₁，因此n=1時成立．
（2）假設當n=k≥1時，a_k+1＜a_k成立．
則a_k+2=eak+1-a_k+1-1=eak+1-（eak-a_k+1-1）-1=eak+1-eak+a_k+1＜a_k+1，
因此當n=k+1時，命題也成立．
綜上（1）（2）可得：?n∈N^*，a_n+1＜a_n都成立．
同理利用數學歸納法可以證明a_n+1＞0．
∴0＜a_n+1＜a_n．

點評：本題考查了利用數學歸納法證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．