Question

若關于x方程3sin（x+10°）+4cos（x+40°）-a=0有實數解，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,兩角和與差的余弦函數

專題：三角函數的求值

分析：依題意得：a=3sin（x+10°）+4cos（x+40°），再將（x+40°）拆分為[（x+10°）+30°，利用兩角和的余弦及輔助角公式化簡，利用正弦函數的有界性即可求得實數a的取值范圍．

解答： 解：∵a=3sin（x+10°）+4cos（x+40°）
=3sin（x+10°）+4cos[（x+10°）+30°]
=3sin（x+10°）+4cos（x+10°）cos30°-4sin（x+10°）sin30°
=sin（x+10°）+2

3

cos（x+10°）
=

13

sin[（x+10°）+φ]，其中tanφ=2

3

，
又

13

sin[（x+10°）+φ]∈[-

13

，

13

]，
∴實數a的取值范圍是[-

13

，

13

]，
故答案為：[-

13

，

13

]．

點評：本題考查兩角和的余弦及輔助角公式的應用，將（x+40°）拆分為[（x+10°）+30°是關鍵，考查正弦函數的有界性，考查轉化思想．