Question

已知橢圓M的對稱軸為坐標軸，離心率為

2

2

，且一個焦點坐標為（

2

，0）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設直線l與橢圓M相交于A、B兩點，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中點P在橢圓M上，O為坐標原點，求點O到直線l的距離的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得

c a = 2 2 c= 2 a2=b2+c2

，解得即可得出．
（2）當直線l的向量存在時，設直線l的方程為：y=kx+m，與橢圓方程聯立化為（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，由△＞0，化為2+4k²-m²＞0，設A（x₁，y₁），
B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．可得x₀=x₁+x₂，y₀=y₁+y₂．代入橢圓方程．利用點到直線的距離公式可得：點O到直線l的距離d=

|m|

1+k2

=

1 2 +k2

1+k2

即可得出．當直線l無斜率時時，由對稱性可知：點O到直線l的距離為1．即可得出．

解答： 解：（1）由題意可設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∴

c a = 2 2 c= 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b²=2，
∴橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：y=kx+m，
聯立

y=kx+m x2+2y2=4

，化為（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0，化為2+4k²-m²＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
∴x₀=x₁+x₂=

-4km

1+2k2

，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+2k2

．
∵點P在橢圓M上，∴

x 2 0

4

+

y 2 0

2

=1，
∴

4k2m2

(1+2k2)2

+

2m2

(1+2k2)2

=1，化為2m²=1+2k²，滿足△＞0．
又點O到直線l的距離d=

|m|

1+k2

=

1 2 +k2

1+k2

=

1- 1 2(1+k2)

≥

1- 1 2

=

2

2

．當且僅當k=0時取等號．
當直線l無斜率時時，由對稱性可知：點P一定在x軸上，從而點P的坐標為（±2，0），直線l的方程為x=±1，
∴點O到直線l的距離為1．∴點O到直線l的距離的最小值為

2

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、向量的平行四邊形法則、二次函數的單調性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．